Узкополосные случайные процессы

Случайный процесс (t) является узкополосным, если его плотность отлична от нуля только поблизости частоты f0. Для этих процессов производится условие

(3.27)

где f ширина спектральной плотности, определённая, к примеру, на уровне 0.5 либо любым другим комфортным методом, в том числе определённая как действенная ширина.

Реализации узкополосного процесса имеют вид промодулиро­ванных по Узкополосные случайные процессы амплитуде и фазе гармонических колебаний. Потому узко­полосный случайный процесс может быть записан в виде

, (3.28)

где A(t) и Ф(t) - медлительно меняющиеся по сопоставлению с слу­чайные функции времени. В предстоящем будем именовать A(t) огибающей, a Ф(t) - фазой узкополосного случайного процесса.

Рассматривая A(t), Ф(t) как стационарные Узкополосные случайные процессы случайные процессы, поставим задачку отыскать их плотности вероятности р(а), р( ), если узкополосный случайный процесс (t) является гауссовским случайным процессом с нулевым математи­ческим ожиданием = 0 и дисперсией = 2.

Для решения намеченной цели комфортно, используя формулу , где , , представить в виде суммы квадратурных составляющих:

(3.29)

где - косинусная, a - синусная квадратурные составляющие случайного Узкополосные случайные процессы процесса. В свою очередь, огибающая и фаза будут равны:

(3.30)

(3.31)

Представление узкополосного случайного процесса через оги­бающую и фазу употребляется в полярной системе координат, а пред­ставление его через ортогональные составляющие и - в прямоугольной системе координат.

Если Aс(t), As(t) являются случайными процессами с гауссовским рассредотачиванием, то, рассматривая и как детерми Узкополосные случайные процессы­нированные множители, приходим к выводу, что в хоть какой момент вре­мени (t) как сумма гауссовских случайных величин имеет гауссовское рассредотачивание. Правильно и напротив, если (t) имеет гауссовское рассредотачивание с нулевым математическим ожиданием, то Ac(t) и As(t) являются также гауссовскими процессами с нулевым математическим ожиданием Узкополосные случайные процессы. Более того, если спектральная плотность случайного процесса (t) симметрична относительно f0 и её корреляционная функция равна

то корреляционные функции процессов Аc( ), Аs( ) совпадают меж собой и определяются выражением

(3.32)

а их обоюдная корреляционная функция равна нулю:

(3.33)

при любом .

Формулы (3.30), (3.31) позволяют интерпретировать A(t) как длину случайного вектора, случайные проекции которого на оси пря­моугольных Узкополосные случайные процессы координат равны Ac(t) и As(t), а фаза Ф(t) является углом меж A(t) и осью абсцисс (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Длина вектора A(t) и величина угла Ф(t) меняются во време­ни случайным образом, так что конец вектора совершает случайные блуждания по плоскости. Но в фиксированный момент Узкополосные случайные процессы времени t вектор неподвижен, так что можно рассматривать как случайные величины. В данном случае при известной двумерной плотности вероятности квадратурных составляющих р(ас,аs), где ас, аs - вероятные значения Ac(f), As(t) в определенный момент времени, зная многофункциональную связь (3.30), (3.31), можно найти двумерную плотность вероятности р(а, ),где а Узкополосные случайные процессы, - воз­можные значения A(t), Ф(t) в тот же момент времени. Потом, инте­грируя р(а, ) по вероятным значениям , можно найти р(а), а методом интегрирования по а - р( ). При всем этом плотность вероятности длины вектора (в нашем случае огибающей) р(а) имеет рэлеевское рассредотачивание, а аргумент (в Узкополосные случайные процессы нашем случае фаза) имеет равномерное рассредотачивание с плотностью вероятности р( ) = 1/2 . Графики р(а), р( ) приведены на рис. 3.4, а формулы для р(а) и р( ) соответственно равны:

Рис. 3.4

(3.34)

(3.35)


uzli-i-ih-primenenie-v-promishlennom-alpinizme.html
uzlovaya-sborka-tronkovogo-dvigatelya.html
uzlovie-zabolevaniya-shitovidnoj-zhelezi-rak-shitovidnoj-zhelezi.html